Với mục đích giúp học sinh nhớ Công thức dễ dàng hơn, Kiến Guru đã biên soạn phần ôn tập toán 9 hình học và giải bài tập SGK chương I. Chúng mình đã hệ thống kiến thức toán 9 ôn tập chương 1 hình học và hướng dẫn giải bài tập ôn tập chương I hệ thức lượng giác tam giác vuông giúp các em dễ dàng hiểu chương này hơn.
Các em cùng theo dõi nhé!
I. Tổng hợp kiến thức toán lớp 9 hình học chương 1
1. Hệ thức về cạnh và đường cao
Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, ta có:
Chú ý: Diện tích tam giác vuông: S = (1/2)bc = (1/2)ah.
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Hay sinα = AB/BC; cosα = AC/BC; tanα = AB/AC; cotα = AC/AB.
Tính chất:
+ Nếu α là một góc nhọn thì 0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1; tanα > 0; cotα > 0.
Ta có: sin2α + cos2α = 1; tanα.cotα = 1
+ Với hai góc nhọn α, β mà α + β = 90°.
Ta có: sinα = cosβ; cosα = sinβ; tanα = cotβ; cotα = tanβ.
Nếu hai góc nhọn α và β có sinα = sinβ hoặc cosα = cosβ thì α = β.
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với côsin góc kề.
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cotg của góc kề.
b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB; b = c.tgB = c.cotgC; c = b.tgC = b.cotgC.
Chú ý: Trong một tam giác vuông nếu cho trước hai yếu tố (trong đó có ít nhất một yếu tố về cạnh và không kể góc vuông) thì ta sẽ tìm được các yếu tố còn lại.
Gợi ý giải toán hình 9 bài tập sgk
Bài tập trang 69 – 70
Bài 1
Hãy tính x và y trong mỗi hình sau (hình 4a, b):
Hướng dẫn giải:
a) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
Hay: x = 3,6; y = 6,4
b) Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình dưới
Ta vẽ hình và đặt tên thích hợp:
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
Hay x = 7,2; y = 12,8
Bài 2
Hãy tính x và y trong hình dưới đây :
Hướng dẫn giải:
Từ đề bài ta có cạnh huyền của tam giác có độ lớn là: 1 + 4 = 5
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông đó là bình phương cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của cạnh ấy trên cạnh huyền, ta được:
Bài 3
Hãy tính x và y trong hình sau:
Hướng dẫn giải:
Cạnh huyền của tam giác vuông = y:
Áp dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông, ta có:
Bài 4.
Hãy tính x và y trong hình sau:
Hướng dẫn giải:
Đặt tên các đỉnh của tam giác như hình bên dưới
Áp dụng hệ thức ta có:
Bài 5
Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác ABC vuông tại A, AHB vuông tại H, AHC vuông tại H, ta có:
Bài 6
Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.
Giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:
Bài 7
Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là ) như trong hai hình sau:
Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.
Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Hướng dẫn giải:
Đặt tên các đoạn thẳng như hình bên.
Xét tam giác ABC ta có:
Suy ra ∆ABC vuông tại A.
Áp dụng hệ thức
Bài 8
Tìm x và y trong mỗi hình sau:
Hướng dẫn giải:
a) Dùng hệ thức lượng bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền
b) Xét tam giác ABC có cạnh huyền là 2x, ta nhận thấy rằng, tam giác này là tam giác vuông cân. Mặc khác, đường cao của tam giác này có độ lớn bằng 2 nên:
Cạnh huyền của tam giác lớn có độ lớn là 2x, áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông lớn, ta có:
c) Xét tam giác vuông lớn, ta có:
Xét tam giác vuông có cạnh huyền là y, ta có:
Bài 9
Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và Tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông goác với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là một tam giác cân;
b) Tổng không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
Hướng dẫn giải:
2. Bài tập trang 76 – 77
Bài 10
Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34∘ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34∘
Hướng dẫn giải:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A, góc C=34∘
Để vẽ được tam giác đề yêu cầu, chúng ta thực hiện các bước như sau:
B1. Vẽ đoạn thẳng AB với độ dài bất kì.
B2. Từ A dựng tia Ax vuông góc với đoạn thẳng AB
B3. Từ B dùng thước đo góc vẽ tia By sao cho góc ABy bằng 34 độ.
B4. Ax và By cắt nhau tại C.
B5. Vẽ tam giác ABC
Tỉ số lượng giác của góc 34 độ là:
Bài 11
Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC=0,9m, BC=1,2m. Tính các tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại C, ta có:
Từ đó, ta có:
Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotan góc kia!
Bài 12 trang 76 sgk Toán 9 – tập 1
Bài 13
Dựng góc nhọn α , biết:
Hướng dẫn giải:
a) (H.a)
– Dựng góc vuông xOy.
-Trên tia Ox đặt OA=2
– Dựng đường tròn (A;3) cắt tia Oy tại B
b) (H.b)
Tương tự câu a, ta sẽ tính độ lớn cạnh góc vuông còn lại bằng Pytago:
Vậy ta sẽ vẽ một góc vuông, và vẽ hai độ lớn là 3 và 4
Hình trên cho ta thấy:
c) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là 3 và 4
Hình trên cho ta thấy:
d) Vẽ tam giác vuông có hai cạnh có độ lớn là 3 và 2
Hình trên cho ta thấy:
Bài 14 trang 77 sgk Toán 9 – tập 1
Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có:
Gợi ý: Sử dụng định lý Py-ta-go.
Hướng dẫn giải:
Bài 15 trang 77 sgk Toán 9 – tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B=0,8, hãy tính các tỷ số lượng giác của góc C.
Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.
Hướng dẫn giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:
Bài 16
Cho tam giác vuông có một góc bằng 60∘ và cạnh huyền có độ dài bằng 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện góc 60∘
Hướng dẫn giải:
Xem hình dưới:
Bài toán yêu cầu tính cạnh AC
Nhìn vào hình vẽ, ta thấy hệ thức liên quan đến cạnh AC cần tìm, cạnh huyền BC cho trước, và góc ABC bằng 60 độ cho trước, ta có:
Bài 17
Tìm giá trị của x trong hình 23:
Giải:
Vẽ lại hình và đặt tên các góc như hình sau:
Vậy độ dài AC chính là x cần tìm.
Xét tam giác BHA vuông tại H có:
Vậy tam giác ABH vuông cân tại H.
⇒ BH = AH = 20
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác AHC vuông tại H ta có:
3. Bài tập trang 83 – 84
Bài 18 trang 83 sgk Toán 9 – tập 1
Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn tới chữ số thập phân thứ tư) :
Hướng dẫn giải:
Bài 19
Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:
Hướng dẫn giải:
4. Bài tập trang 88 – 89
Bài 26
Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xáp xỉ bằng 34∘ và bóng của một tháp trên mặt đất dài 86m (H.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
Hướng dẫn giải:
Chiều cao của tháp là:
Bài 27
Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:
Hướng dẫn giải:
a) (H.a)
b) (H.b)
c) (H.c)
d) (H.d)
Kết quả này chính xác hơn vì khi tính toán, ta dùng ngay các số liệu đã cho mà không dùng kết quả trung gian.
Kết luận
Phần ôn tập toán 9 hình học và giải bài tập SGK (Phần 1) này được chúng mình biên soạn bám sát chương trình SGK mới toán hình lớp 9. Mong rằng bài viết này giúp các em tiện tra cứu và tham khảo để học tốt môn toán hình 9. Nếu các em thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập nhé!
