Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l cực hay

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l cực hay

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) = l.

Bước 1: Tính y’=f'(x).

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: (1).

Bước 3: Biến đổi |x1-x2 | = l thành (x1+x2 )2 – 4×1.x2=l2 (2).

Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.

Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax3+bx2+ cx + d (a ≠ 0) ⇒ f'(x)=3ax2+ 2bx + c

Sử dụng định lý vi ét cho tam thức bậc hai f'(x)= 3ax2 + 2bx + c có

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = 1/3 x3 – 2mx2 + 2mx – 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3.

Hướng dẫn

Ta có f'(x) = x2 – 4mx + 2m

Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 |=3

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ’= 4m2 – 2m > 0 ⇔

Theo Vi ét ta có

+ Với |x1-x2 | = 3 ⇔ (x1 + x1)2 – 4×1 x2 – 9 = 0

(thỏa mãn)

Vậy giá trị của m cần tìm là m=.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = -x3 + 3×2 + (m-1)x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1

Hướng dẫn

Ta có f'(x)= -3×2 + 6x + m – 1

Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 (x1 < x2) thỏa mãn |x1-x2 | > 1

+ f'(x)= 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ Δ’= 3m + 6 > 0 ⇔ m > -2

Theo Vi ét ta có

+ Với |x1-x2 | > 1 ⇔ (x1+x2 )2-4×1 x2-1 > 0 ⇔ 4m + 5 > 0 ⇔ m > -5/4

Kết hợp điều kiện ta được m > -5/4

Ví dụ 3: Xác định m để hàm só y = -x4 +(m – 2) x2 + 1 có khoảng nghịch biến (x1;x2) và độ dài khoảng này bằng 1.

Hướng dẫn

Ta có y’ = -4×3 + 2(m – 2)x

Để hàm số có khoảng nghịch biến (x1;x2) thì phương trình -2×2 + m – 2 = 0 phải có hai nghiệm phân biệt

Giả sử x1 < 0 < x2, khi đó hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng (x1;0) và (x2; +∞)

Vì độ dài khoảng nghịch biến bằng 1 nên khoảng (x1;0) có độ dài bằng 1 hay x1 = -1

Vì -2×2 + m – 2 = 0 có một nghiệm là -1 nên -2 + m – 2 = 0 ⇔ m = 4 (thỏa mãn)

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = (m + 1)x3 – 3(m+1)x2 + 2mx + 4 đồng biến trên khoảng có độ dài không nhỏ hơn 1.

Câu 2: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (m + 36)x – 5 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4√2.

Câu 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn

Câu 4: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = -x3 + x2 – (2 – m)x + 1 nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.

Câu 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2×3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x + 2017 nghịch biến trên khoảng (a;b) sao cho b – a > 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu
• Dạng 3: Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Phương pháp cô lập m trong khảo sát tính đơn điệu của hàm số
• Trắc nghiệm Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên đoạn có độ dài l

Mã giảm giá Shopee mới nhất Mã code

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k