Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay
Bài giảng: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương pháp giải
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm. M0 (x0; y0) ∈ (C)
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 có dạng y = f'(x0 )(x – x0 ) + y0
Trong đó:
Điểm M0 (x0; y0) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).
k = f’x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Chú ý:
Đường thẳng bất kỳ đi qua M0 (x0; y0) có hệ số góc k, có phương trình
y = k(x – x0 ) + y0
Cho hai đường thẳng Δ1:y = k1 x + m1 và Δ2:y = k2 x + m2
Lúc đó:
2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị
Cho hai hàm số y = f(x),(C) và y = g(x),(C’)
(C) và (C’ ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình
có nghiệm.
Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.
Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ có nghiệm.
3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp
Cho hàm số y = f(x) gọi đồ thị của hàm số là (C)
Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0; y0)
Phương pháp
Bước 1. Tính y’ = f’ (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’ (x0).
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0 (x0; y0) có dạng
y – y0 = f'(x0)(x – x0)
Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.
Phương pháp
Bước 1. Gọi M0 (x0; y0) là tiếp điểm và tính y’ = f’ (x).
Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f’ (x0). . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0.
Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng
d: y – y0 = f’ (x0)(x – x0)
Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a
Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tanα
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)
Phương pháp
Cách 1.
Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng
d:y = k(x – xA ) + yA (*)
Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.
Cách 2.
Bước 1. Gọi M(x0; f(x0 )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến
k = y'(x0 ) = f’ (x0) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x0 )(x – x0 ) + y0 (**). Do điểm A(xA; yA) ∈ d nên yA = y'(x0 )(xA – x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).
Hướng dẫn
Ta có y’ = 3×2 + 6x; y'(1) = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:
y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5
Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).
Hướng dẫn
Ta có y’ = 12×2 – 12x
Gọi M(x0, y0) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:
y = (12×02 – 12×0> )(x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:
-9 = (12×02 – 12×0 )( -1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1
Với .
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x – 5/4) – 9/16 = 15/4 x – 21/4
Với x0 = -1 thì .
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) – 9 = 24x + 15
Ví dụ 3: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0
Hướng dẫn
ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y’ = 3/(x + 2)2 .
Phương trình Δ:3x – y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x0, y0)
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0 nên ta có
Với x0 = -1
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) – 1 = 3x + 2 (loại).
Với x0 = -3
Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)
B. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = -2×3 + 6×2 – 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.
Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4×4 – 2×2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y” (x0 )= -1.
Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x – 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.
Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x – 4×2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).
Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu 6: Cho hàm số (C):y = x3 – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7
Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 – 2×2 + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x – 8y + 2017 = 0
Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 – 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y – 1 = 0 một góc 450.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
- Dạng 2: Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số
- Trắc nghiệm về tiếp tuyến của hàm số
Mã giảm giá Shopee mới nhất Mã code
- Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
- SRM Simple tặng tẩy trang 50k
- Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k
