1. Định nghĩa đường hypebol
– Diễn giải bằng lời: Trong toán học, đường hypebol hay hypebol là một kiểu đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.
Đường hyperbol được định nghĩa là quỹ tích của tập hợp các điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số giá trị bằng 2a (a bằng độ dài bán trục lớn của đường hypebol). Hai điểm cố định trên gọi là hai tiêu điểm của đường hypebol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này chính là đường trục thực của đường hypebol; trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hypebol.
– Diễn giải bằng kí hiệu: Cho hai điểm cố định $F_1 , F_2$ với F1F2 = 2c (c>0) và hằng số a<c .
Đường hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn $|MF_1-MF_2| = 2a$, Kí hiệu là (H)
Gọi: $F_1$ và $F_2$ là tiêu điểm của đường (H)
Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (H) .
2. Phương trình chính tắc đường hypebol
2.1. Phương trình đường cong hypebol
Với $F_1(-c ;0), F_2(c;0)$
M(x ; y) ∈ (H) ⇔ x² a² – y² b² = 1 với b² = c² – a² (2)
Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol
2.2. Ví dụ phương trình đường hypebol
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của Hypebol (H) biết (H) có trục thực và trục ảo lần lượt là 10 và 6.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Độ dài trục thực bằng 2a và bằng 10, suy ra a bằng 5
Tương tự:
Độ dài trục ảo bằng 2b và bằng 8 nên b bằng 3
Phương trình chính tắc của hypebol là $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$
Vậy hypebol (H) có dạng: $frac{x^2}{5^2}-frac{y^2}{3^2}=1$
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol có một đỉnh là $A_2(5; 0)$ và một đường tiệm cận là y =-3x.
Hướng dẫn giải:
Gọi phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$ (a > 0, b > 0)
+) Hypebol có một đỉnh là $A_2(5; 0)$ => a = 5
+) Hypebol có một đường tiệm cận là y=-3x => b a=3 => b = 3a = 15
Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol đã cho là $frac{x^2}{5^2}-frac{y^2}{{15}^2}=1$ hay $frac{x^2}{{25}^2}-frac{y^2}{{225}^2}=1$
3. Hình dạng và tính chất đường hypebol
Đường hypebol có những đặc điểm sau đây:
+ 2 tiêu điểm: Tiêu điểm trái $F_1(−c;0)$, tiêu điểm phải $F_2 (c;0)$
+ Các đỉnh của đường hypebol: $A_1(- a;0), A_2 (a;0)$
+ Trục Ox là trục thực, trục Oy là trục ảo. Khoảng cách 2a giữa 2 đỉnh đường hypebol gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.
+ Đường cong hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a , y = ± b gọi là hình chữ
nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệm cận của hypebol và có phương trình là y = ± ba
+ Tâm sai đường hypebol: $e=frac{c}{a}>1$
+ $M(x_m ; y_m)$ thuộc (H) thì:
$MF_1=|a+ex_M|=|a+frac{c}{a}x_M |, MF_2=|a-ex_M|=|a-frac{c}{a}x_M|$
Ví dụ 1: Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh; độ dài trục thực, trục ảo và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau.
a) $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{4}=1$
b) $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{4}=1$
c) $x^2-9y^2=1$
Hướng dẫn giải:
a) Ta có: $a=3$ , $b=2$ , $c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{13}$
Tiêu điểm $F_1(-sqrt{13};0) , F_2(sqrt{13} ; 0)$
Các đỉnh đường hypebol $A_1(-3;0) , A_2(3;0)$
Độ dài đường trục thực: $2a = 6$; độ dài đường trục ảo: $2b = 4$
Phương trình tiệm cận của hypebol: $y=pm frac{2}{3}x$
b) Ta có: a=3, b=4 , $c=sqrt{a^2+b^2}=5}$
Tiêu điểm $F_1(-5;0), F_2(5;0)$
Các đỉnh $A_1(-3;0), A_2(3;0)$
Độ dài trục thực: 2a=6, độ dài trục ảo: 2b = 8
Phương trình tiệm cận của đường hypebol: $y=pm frac{4}{3}x$
c) Ta có: x² – 9y² = 9 ⇔ $frac{x^2}{9}-y^2=1$
a=3, b=1 , $c=sqrt{a^2+b^2}=sqrt{10}$
Tiêu điểm $F_1(-sqrt{10} ; 0) , F_2(sqrt{10} ; 0)$
Các đỉnh $A_1(-3 ; 0) , A_2(3 ; 0)$
Độ dài trục thực: 2a = 6, độ dài trục ảo: 2b = 2
Phương trình tiệm cận của hypebol: $y=pm frac{1}{3}x$
Ví dụ 2: Cho hypebol (H) như hình dưới đây:
a) Chứng minh rằng: Nếu M(x, y) nằm trên hypebol (H) thì $x leq -a$ hoặc $xgeq a$
b) Phương trình hai đường thẳng PR và QS có dạng như thế nào?
Hướng dẫn giải:
a) Nếu M(x, y) thuộc hypebol (H) thì $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$
Mà $frac{y^2}{b^2}geq 0$ suy ra $frac{x^2}{a^2}geq 1$
Do đó $x^2geq a^2Rightarrow xleq -a$ hoặc $xgeq a$
b) Có P(-a, b), R(a; -b) => $vec{PR}=(a-(-a);-b-b)=(2a;-2b)$
Do đó ta chon $n(b;a)$ là một vector pháp tuyến của PR
Phương trình đường thẳng PR có dạng:
$b(x +a)+a(y-b) =0$
Hay, $bx+ay=0$ hay $y=-frac{b}{a}x$
Tương tự, ta có:
$Q(a; b), S(-a; -b)$ => $vec{QS}=(-a -a;-b-b) =(-2a;-2b)$
Do đó ta chon $n(b;a)$ là một vector pháp tuyến của QS
Phương trình đường thẳng QS có dạng:
$-b(x -a)+a(y-b) =0$
Hay, $-bx+ay=0$ hay $y=frac{b}{a}x$
4. Bài tập áp dụng đường hypebol
Câu 1: Khái niệm nào sau đây là định nghĩa về đường hypebol?
A. Cho điểm F và đường thẳng Δ cố định không đi qua F. Đường hypebol (H) là tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện khoảng cách từ M đến Δ bằng khoảng cách từ M đến F.
B. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0). Hypebol (H) là tập hợp điểm M sao cho |MF1 – MF2|=2a với a là một số không đổi và a<c .
C. Cho F1, F2 cố định với F1F2 = 2c, (c>0) và một độ dài 2a không đổi (a>c) . Hypebol (H) là tập hợp các điểm M sao cho M ∊ (P)=MF1+MF2=2a .
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .
Câu 2: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$, với a, b > 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là $F_1( c ; 0), F_2(-c ; 0)$.
B. Nếu c² = a² + b² thì (H) có các tiêu điểm là $F_1(0 ; c), F_2(0 ; −c)$.
C. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là $F_1(c ; 0), F_2(- c ; 0)$.
D. Nếu c² = a² – b² thì (H) có các tiêu điểm là $F_1(0 ; c), F_2(0 ; −c)$.
Câu 3: Cho Hypebol (H) có phương trình chính tắc là $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$, với $a,b>0$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=frac{c}{a}$
B. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=frac{c}{a}$
C. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=-frac{c}{a}$
D. Với c² = a² + b² (c > 0), tâm sai của hypebol là $e=-frac{c}{a}$
Câu 4: Cho đường hypebol (H) có phương trình chính tắc là $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1$, với $a, b>0$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là $(a;0)$ và $(-a;0)$.
B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là $B_1(0;b)$, $A_1(0;−b)$.
C. Với c² = a² + b² (c > 0) , độ dài tiêu cự là 2c.
D. Với c² = a² + b² (c > 0) , tâm sai của hypebol là $e = e = frac{c}{a}$.
Câu 5: Hypebol $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$ có hai tiêu điểm là:
A. $F_1(-5;0) , F_2(5;0)$
B. $F_1(-2;0) , F_2(2;0)$
C. $F_1(-3;0) , F_2(3;0)$
D. $F_1(-4;0) , F_2(4;0)$
Câu 6: Đường hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:
A. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
B. $frac{x^2}{16}+frac{y^2}{9}=1$
C. $frac{y^2}{16}-frac{x^2}{9}=1$
D. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{25}=1$
Câu 7: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) mà hình chữ nhật cơ sở có một đỉnh là (2;−3)
A. $frac{x^2}{2}-frac{y^2}{-3}=1$
B. $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{9}=1$
C. $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{3}=1$
D. $frac{x^2}{2}-frac{y^2}{3}=1$
Câu 8: Đường hypebol $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{9}=1$ có:
A. Hai đỉnh $A_1(-2;0) , A_2(2;0)$ và tâm sai $e=frac{2}{sqrt{13}}$
B. Hai đường tiệm cận $y=pm frac{3}{2}x$ và tâm sai $e=frac{2}{sqrt{13}}$
C. Hai đường tiệm cận $y=pm frac{3}{2}x$ và tâm sai $e=frac{2}{sqrt{13}}$
D. Hai tiêu điểm $F_1(-2;0) , F_2(2;0)$ và tâm sai $e=frac{2}{sqrt{13}}$
Câu 9: Phương trình hai đường tiệm cận $y=pm frac{3}{2}x$ là của đường hypebol có phương trình chính tắc nào sau đây?
A. $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{9}=1$
B. $frac{x^2}{3}-frac{y^2}{2}=1$
C. $frac{x^2}{2}-frac{y^2}{3}=1$
D. $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{4}=1$
Câu 10: Tim phương trình chính tắc của Hypebol H biết nó đi qua điểm là (5;4) và một đường tiệm cận có phương trình là $x + y = 0$
A. $x^2-frac{y^2}{9}=1$
B. x² – y² = 9
C. x² – y² = 1
D. $frac{x^2}{5}-frac{y^2}{4}=1$
Câu 11: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol (H) biết nó tiêu điểm là (3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : $sqrt{2}x + y = 0$
A. $frac{x^2}{6}-frac{y^2}{3}=1$
B. $frac{x^2}{3}-frac{y^2}{6}=1$
C. $frac{x^2}{1}-frac{y^2}{2}=1$
D. $frac{x^2}{1}-frac{y^2}{8}=1$
Câu 12: Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol nếu một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở của đường hyperbol đó là M (4 ; 3) .
A. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
B. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
C. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{4}=1$
D. $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{3}=1$
Câu 13: Cho điểm M nằm trên đường hypebol (H): $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$. Nếu hoành độ điểm M bằng 8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của H là bao nhiêu ?
A. $8pm 4sqrt{2}$
B. $8pm 4sqrt{5}$
C. 5 và 13
D. 6 và 14
Câu 14: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol, biết giá trị tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol là 8, tiêu cự bằng 10 .
A. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$ hoặc $-frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
B. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
C. $frac{x^2}{4}+frac{y^2}{3}=1$
D. $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{3}=1$
Câu 15: Đường hypebol có hai đường tiệm cận vuông góc với nhau, độ dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:
A. $frac{x^2}{46}-frac{y^2}{6}=1$
B. $frac{x^2}{9}-frac{y^2}{9}=1$
C. $frac{x^2}{1}-frac{y^2}{9}=1$
D. $frac{x^2}{16}-frac{y^2}{9}=1$
Câu 16: Điểm nào trong 4 điểm M (5 ; 0) , N (10 ; 33 ) , P (52 ; 32 ) , Q (5 ; 4) nằm trên một đường tiệm cận của đường hypebol x² 25 – y² 9 = 1?
-
N B. M C. Q D. P
Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của đường hypebol H biết nó có một đường tiệm cận là x − 2y = 0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích bằng 24 .
A. $frac{x^2}{12}-frac{y^2}{48}=1$
B. $frac{x^2}{3}-frac{y^2}{12}=1$
C. $frac{x^2}{12}-frac{y^2}{3}=1$
D. $frac{x^2}{48}-frac{y^2}{12}=1$
Câu 18: Lập phương trình chính tắc của đường hypebol ( H ) với Ox là trục thực , tổng hai bán trục a + b = 7, phương trình hai tiệm cận : y = ±.3 4x
-
(H): $frac{x^2}{3}-frac{y^2}{4}=1$
-
(H): $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{3}=1$
-
(H): $frac{x^2}{28}-frac{y^2}{21}=1$
-
(H): $frac{x^2}{21}-frac{y^2}{28}=1$
Câu 19: Cho đường hypebol (H): $frac{x^2}{25}-frac{y^2}{16}=1$ có 2 tiêu điểm $F_1, F_2$. Với M là một điểm tùy ý thuộc (H). Hãy tính $S=(MF_1 + MF_2)^2 – 4OM_2$
A. 8 B. 1 C. $ frac{1}{64}$ D. 64
Câu 20: Cho đường hypebol (H): $frac{x^2}{4}-frac{y^2}{3}=1$. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với đường thẳng d : 5x – 4y + 10 = 0
A. 5x – 4y + 4 = 0 , 5x – 5y – 4 = 0
B. 5x – 4y – 16 = 0 và 5x – 4y + 16 = 0
C. 5x – 4y – 16 = 0
D. 5x – 4y + 16 = 0
Bảng đáp án:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
A
D
A
A
B
C
D
C
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
A
A
D
A
B
D
C
B
D
B
VUIHOC đã tổng hợp đề cương ôn tập về phần lý thuyết cũng như bài tập tự luận về đường hypebol. Hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em dễ hiểu và giải được nhiều bài toán về phần kiến thức này. Để tham khảo thêm các dạng kiến thức Toán THPT, trong đó có Toán lớp 10, các em truy cập đường link online vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học với các thầy cô ngay tại đây nhé!
