Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình cực hay
A. Phương pháp giải
+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
+ Bước 2: Lập phương trình; bất phương trình.
+ Bước 3: Giải phương trình; bất phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho hàm số y= 2×3 – 6×2+ 2000. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: y’=6×2-12x
+ Để y’=0 thì 6×2-12x=0
Vậy phương trình y’= 0 có hai nghiệm.
Chọn C.
Ví dụ 2.Cho hàm số y= x3-4×2+5x-9. Với giá trị nào của x thì y’>0?
Hướng dẫn giải
Ví dụ 3.Cho hàm số y= x4+ 2×3 – k.x2+ x- 10. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?
A. k= 5 B. k= -5 C. k= 2 D. k= – 3
Hướng dẫn giải
+ Ta có đạo hàm: y’= 4×3+ 6×2 – 2kx+ 1.
+ Để y’= 1 thì 4×3+ 6×2 – 2kx+ 1 = 1
⇔ 4×3+ 6×2 – 2kx = 0. (*)
Do phương trình y’= 1 có một nghiệm là x= 1 nên phương trình (*) có một nghiệm x= 1. Suy ra: 4.13 + 6.12 – 2.k.1= 0 ⇔ 10- 2k = 0
⇔ k= 5.
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho hàm số y= 4x+√x-10. Nghiệm của phương trình y’=0 là
A.x=1 B. x= 4 C. x= 9 D. Vô nghiệm
Hướng dẫn giải
⇒ Phương trình y’= 0 vô nghiệm.
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho hàm số y= (2x-1)/(x+1). Với những giá trị nào của x thì y’ >0
A. R. B. x> 0 C.R{-1} D. -1
Hướng dẫn giải
Ví dụ 6. Cho hàm số y= (2x-2)/(x-3). Giải phương trình y’= -4.
A .x= – 2 B. x= 4 hoặc x= 2 C. x= 2 D x= – 3
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x≠3.
Đạo hàm của hàm số đã cho với x≠3 là :
Ví dụ 7.ho hàm số y= (x3+ x2)/(x-1). Phương trình y’=0 có mấy nghiệm nguyên?
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Hướng dẫn giải
+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm x≠1. Khi đó; đạo hàm của hàm số là:
Ví dụ 8.Cho hàm số y= 2mx – mx3. Với những giá trị nào của m để x= -1 là nghiệm của bất phương trình y'<1?
A. m > – 1 B. m < 1 C.m= 1 D. m < – 1
Hướng dẫn giải
Ta có đạo hàm: y’= 2m- 3mx2
Bất phương trình y’ <1 khi 2m-3mx2 <1
Do x= -1 là nghiệm của bât phương trình nên ta có: 2m- 3m.(-1)2 < 1
⇔ – m < <1 hay m >- 1.
Chọn A.
Ví dụ 9. Cho hàm số y= 2( m-1)x3- 6(m+ 2)x2+ 2 tìm m để y’ ≥0 ; ∀ x∈R?
A. m < – 2 B. m>2 C. m > -2 D. m= -2
Hướng dẫn giải
+ Hàm số xác định với mọi x∈R.
+ Đạo hàm của hàm số: y’=6(m-1) x2-12( m+2).x
+ Để y’ ≥0 ; ∀ x∈R khi và chỉ khi :
6(m-1) x2-12( m+2).x ≥0 đúng ∀ x∈R ( *)
+ Với m= 1 thì (*)trở thành: -36 x ≥0 ⇔ x ≥0 ( loại)
+ Với m≠1 thì để (*) đúng với mọi x thì:
Ví dụ 10.Tìm m để các hàm số y= mx3- 3mx2 + (9m- 3) x+ 3 có y’ ≤0 ; ∀x∈R.
A. m< 1 B. m< 0 C. m ≤0 D. m > 0
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
Đạo hàm của hàm số là: y’ = 3mx2 – 6mx + 9m-3
Để y’ ≤0 ; ∀x∈R thì 3mx2 – 6mx + 9m – 3 ≤0 ; ∀x∈R (*)
+ Nếu m= 0 thì (*) trở thành: – 3≤0 (luôn đúng với mọi x)
⇒ m= 0 thỏa mãn.
+ Nếu m≠0 thì để (*) luôn đúng với mọi x khi và chỉ khi:
Ví dụ 11. Cho hàm số y= (kx-1)/(x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1
A. k <- 1 B. k> 1 C. k< – 2 D.k > 3
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho có đạo hàm với mọi x≠1.
Với mọi x≠1 hàm số có đạo hàm là:
Ví dụ 12. Cho hàm số y= √(2×2+4). Với những giá trị nào của x thì y’=0?
A. x= 0 B. x= 1 C. x= 2 D. không có giá trị nào thỏa mãn
Hướng dẫn giải
Hàm số đã cho xác định với mọi x.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y= x3 – x2+ 2000x+ 8. Phương trình y’= 0 có mấy nghiệm?
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 2: Cho hàm số y= 2×3-4×2+2x-9. Với giá trị nào của x thì y'<0?
A. x< 1 B. x< 1/3 C. x >1 hoặc x< 1/3 D. 1/3< x <1
Câu 3: Cho hàm số y= x4 -3×3 +2k.x2+ 4x – 6. Tìm k để phương trình y’=1 có một nghiệm là x= 1?
A. k= 1/2 B. k= 2/3 C. k= 2 D. k= – 3
Câu 4: Cho hàm số y= x2-32√x+8. Nghiệm của phương trình y’=0 là
A.x=1 B. x= 4 C. x= 9 D. Vô nghiệm
Câu 5: Cho hàm số y= (x+2)/(x-3). Với những giá trị nào của x thì y’ >0
A. R. B. x > 0 C.R{ 3} D. Không có giá trị nào
Câu 6: Cho hàm số y=(3x+1)/(2x+2). Giải phương trình y’= 4.
Câu 7: Cho hàm số y= (2 x2-2x)/(x+1). Phương trình y’=0 có nghiệm là?
A. x= -1 hoặc x= 0 B. x= 0 C. x= 1 hoặc x= -1 D. x= 2 hoặc x= – 1
Câu 8: Cho hàm số y= x3 – mx2 + 3x+ 3. Với những giá trị nào của m để x= 6 là nghiệm của bất phương trình y'<3?
A. m > 6 B. m > 9 C.m < – 6 D. m < 9
Câu 9: Cho hàm số y= ( m+1)x3- 3(2m- 1)x2+ x tìm m để y’ ≤0 ; ∀ x∈R?
A. m < – 2 B. m>2 C. m > -2 D. Không có giá trị nào
Câu 10: Tìm m để các hàm số y= mx3- ( m- 2)x2 + ( m+ 1) x+ 7 có y’ ≤0 ; ∀x∈R.
A. m< 4 B. m> – 2 C. m ≤4 D. m ≤-4
Câu 11: Cho hàm số y= (2x+k)/(4x-1). Xác định các giá trị của k để y'<0 ; ∀ x≠1/4
Câu 12: Cho hàm số y= √(x2+4x+19). Xác định các giá trị của x là nghiệm của bất phương trình y’<0 ?
A. x< -2 B. x> 4 C. x< 1 D. x>2
Mã giảm giá Shopee mới nhất Mã code
- Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
- SRM Simple tặng tẩy trang 50k
- Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k
