1. Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai
1.1. Khái niệm tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng: $ax^{2}+bx+c=0$, trong đó a,b,c là những hệ số cho trước và $aneq 0$.
Ví dụ:
f(x)=$x^{2}-4x+5$ là tam thức bậc hai
f(x)=$x^{2}(2x-7)$ không là tam thức bậc hai.
Nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0$ là nghiệm của tam thức bậc hai; $Delta =b^{2}-4ac$ và $Delta’ =b’^{2}-ac$ lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $ax^{2}+bx+c=0$.
1.2. Dấu của tam thức bậc hai
1.2.1. Định lý dấu của tam thức bậc hai
Định lý thuận:
– Cho tam thức bậc hai f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ với $aneq 0$ có $Delta =b^{2}-4ac$
-
Nếu $Delta>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $xepsilon R$)
-
Nếu $Delta=0$ thì f(x) có nghiệm kép là x=$-frac{b}{2a}$
Khi đó f(x) sẽ cùng dấu với a (mọi x$neq -frac{b}{2a}$)
-
Nếu <0 thì f(x) có hai nghiệm $x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})$; f(x) cùng dấu với a với mọi $xin (-infty ;x_{1})cup (x_{2};+infty )$; f(x) trái dấu với a khi $x_{1}<x<x_{2}$.
Mẹo ghi nhớ: Khi xét dấu của tam thức bậc hai mà có hai nghiệm phân biệt, các em có thể áp dụng quy tắc “Trong trái, ngoài cùng”, nghĩa là: trong khoảng hai nghiệm thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì f(x) cùng dấu với a.
Định lý đảo dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc 2: f(x)=$ax^{2}+bx+c=0$ với $aneq 0$. Nếu tồn tại số $alpha $ thỏa mãn điều kiện: $alpha. f(alpha )<0$ thì f(x) sẽ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}:x_{1}<alpha <x_{2}$.
1.2.2. Xét dấu của tam thức bậc hai
Để xét dấu của một tam thức bậc hai chúng ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tính $Delta $, tìm nghiệm của tam thức bậc hai (bấm máy).
Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa theo hệ số a.
Bước 3: Xét dấu của tam thức bậc hai rồi đưa ra kết luận.
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng dưới đây:
1.3. Ứng dụng dấu của tam thức bậc 2
Nhận xét: Trong cả hai trường hợp a>0 và a<0 thì:
-
$Delta >0$, f(x) có đủ cả hai loại dâu dương, âm.
-
$Delta leq 0$, f(x) chỉ có một loại dâu âm hoặc dương.
Từ đó, chúng ta có các bài toán sau: Với tam thức bậc hai: $ax^{2}+bx+c=0$ với $aneq 0$:
2. Các bài tập về dấu của tam thức bậc hai lớp 10
2.1. Bài tập vận dụng và hướng dẫn giải
Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai sau: f(x)=$3x^{2}+2x-5$
Lời giải:
f(x)=$3x^{2}+2x-5$
Ta có: $Delta =b^{2}-4ac=27>0$
Phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ trong đó $x_{1}=frac{-5}{3}, x_{2}=1$
Ta có bảng xét dấu:
Kết luận:
f(x)<0 khi $xin (-frac{5}{3};1)$
f(x) >0 khi $xin (-infty ;-frac{5}{3})cup (1;+infty )$
Bài 2: Xét dấu biểu thức sau: f(x)=$frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}-1}$
Lời giải: Ta xét: $x^{2}+2x+1=0$ <=> x=-1 (a>0)
$x^{2}-1=0$ <=> x=-1 hoặc x=1 (a>0)
Bảng xét dấu:
Kết luận: f(x)>0 khi $xin (-infty ;-1)cup (1;+infty )$
f(x)<0 khi $xin (-1;1)$
Bài 3: Giải các bất phương trình sau:
a, $-3x^{2}+7x-4<0$
b, $frac{10-x}{5+x^{2}}>frac{1}{2}$
c, $frac{1}{1+x}+frac{2}{x+3}<frac{3}{x+2}$
Hướng dẫn: Để giải các bất phương trình hữu tỉ, ta cần biến đổi (rút gọn, quy đồng) để được một bất phương trình tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Sau đó ta lập bảng xét dấu và kết luận.
Lời giải:
a, Đặt f(x)= $-3x^{2}+7x-4$
$-3x^{2}+7x-4=0$ $x=1$ hoặc $x=frac{4}{3}$
Bảng xét dấu:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=$(-infty ;1)cup (frac{4}{3};+infty )$
b, $frac{10-x}{5+x^{2}}>frac{1}{2}$
$Leftrightarrow frac{10-x}{5+x^{2}}-frac{1}{2}>0$ $Leftrightarrow frac{-x^{2}-2x+15}{2(x^{2}+5)}>0$
<=> f(x)>0
Lập bảng xét dấu cho vế trái của bất phương trình ta được:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là N=(-5;3)
c, $frac{1}{1+x}+frac{2}{x+3}<frac{3}{x+2}$
$frac{-x+1}{(x+3)(x+2)(x+1)}<0$
<=> f(x)<0
Lập bảng xét dấu cho vế trái của bất phương trình ta được:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T=$(-infty ;-3)cup (-2;-1)cup (1;+infty )$
2.2. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để các bất phương trình sau đây vô nghiệm:
1. $5x^{2}-x+mleq 0$
2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>m-3$
3.$x^{2}-2mx+m+12<0$
4.$x^{2}+3mx-9<0$
5.$x^{2}+3x-9mleq 0$
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm:
1.$-2x^{2}-mx+m^{2}-1geq 0$
2.$(m-1)x^{2}-(2m-1)x>-m-3$
3.$2mx^{2}+x-3geq 0$
Bài viết trên đây đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập dấu của tam thức bậc hai. Hy vọng rằng các em đã có được nguồn kiến thức tham khảo hữu ích để tự tin đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, đặc biệt là kì thi THPT quốc gia. Đừng quên truy cập vuihoc.vn và đăng ký khóa học để học thêm nhiều kiến thức bổ ích nhé!
