1. Lý thuyết giới hạn của hàm số
1.1. Giới hạn của hàm số là gì?
Khái niệm “Giới hạn” được sử dụng trong toán học để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số khi tiến dần tới một giá trị xác định.
Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó.
Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a.
Ký hiệu Toán học: $underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=L$
Ví dụ: $underset{xrightarrow 2}{lim} x^{2}=4$ do $x^{2}$ nhận các giá trị rất gần 4 khi x tiến đến 2.
1.2. Giới hạn của hàm số tại 1 điểm
Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm $x_{0}$. Hàm f(x) xác định trên K hoặc K ∖ ${x_{0}}$
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $x_{0}$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} rightarrow x_{0}$ ta có $f(x_{n}) rightarrow L$
Ký hiệu Toán học:
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ hay f(x) = L khi
$x rightarrow$ x0
1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực
a, Cho y = f(x) xác định trên $(a;+infty)$
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $+infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n}>a$ và $x_{n} rightarrow +infty$ ta có $f(x_{n}) rightarrow L$
Ký hiệu Toán học:
$underset{xrightarrow +infty}{lim} f(x)=L$
hay f(x) = L khi $x rightarrow +infty$
b, Cho y = f(x) xác định trên $(-infty;a)$
Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến dần tới $-infty$ nếu với dãy $(x_{n})$ bất kì, $x_{n}<a$ và $x_{n} rightarrow -infty$ ta có $f(x_{n}) rightarrow L$
Ký hiệu Toán học:
$underset{xrightarrow -infty}{lim}$f(x) = L
hay f(x) = L khi $x rightarrow -infty$
Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là $+infty$ khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là $-infty$
1.4. Giới hạn của hàm số là lim
Giả sử f(x) là một hàm số giá trị thực, a là một số thực. Biểu thức $underset{xrightarrow a}{lim}f(x)=L$ có nghĩa là f(x) sẽ càng gần L nếu x đủ gần a. Ta nói giới hạn của f(x) khi xđạt gần đến a là L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a)neq L$ và khi f(x) không xác định tại a.
2. Các định lý về giới hạn của hàm số
-
Định lý 1:
a, Giả sử $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}g(x)=M$. Khi đó:
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x)+g(x)]=L+M$
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x)-g(x)]=L-M$
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x).g(x)]=L.M$
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[frac{f(x)}{g(x)}]=frac{L}{M}(Mneq 0)$
b, Nếu $f(x)geq 0$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ thì: $Lgeq 0$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}sqrt{f(x)}=sqrt{L}$
Dấu của hàm f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với $xneq x_{0}$
-
Định lý 2:
$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=L$ khi và chỉ khi $underset{xrightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=underset{xrightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=L$
3. Một số giới hạn đặc biệt
a, $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}x=x_{0}$
b, $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}c=c$
c, $underset{xrightarrow pm infty}{lim}c=c$
d, $underset{xrightarrow pm infty}{lim}frac{c}{x}=0$ với c là hằng số
e, $underset{xrightarrow +infty}{lim}x^{k}=+infty$ với k là số nguyên dương
f, $underset{xrightarrow +infty}{lim}x^{k}=-infty$ nếu như k là số lẻ
g, $underset{xrightarrow -infty}{lim}x^{k}=+infty$ nếu như k là số chẵn
4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ
4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa
Phương pháp giải: chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính
Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:
a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}(3x^{2}+x+1)$
b, $B=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{x^{3}-1}{x-1}$
c, $underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt{x+2}-2}{x-2}$
d, $underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{3x+2}{x-1}$
Lời giải:
4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng
Hàm số 0/0 là hàm số có dạng $A=underset{xrightarrow x_{0}}{lim}frac{f(x)}{g(x)}$ với $f(x_{0})=g(x_{0})=0$
Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm $x=x_{0}$ , ta sẽ có $f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x)$ Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta sẽ phân tích như sau:
$f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x); g(x)=(x-x_{0}).g_{1}(x)$
Khi đó $A=underset{xrightarrow x_{0}}{lim}frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$, ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0
Ví dụ: Tìm các giới hạn dưới đây:
a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$
b, $B=underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt[3]{3x+2}-x}{sqrt[2]{3x-2}-2}$
Lời giải:
a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$
Ta có: $underset{xrightarrow 1}{lim}frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=0$
$underset{xrightarrow 1}{lim}frac{2x-1-x^{2}}{(x-1)(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{-(x-1)}{(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=0$
b, $B=underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt[3]{3x+2}-x}{sqrt[2]{3x-2}-2}$
Ta có: $underset{xrightarrow 2}{lim}frac{(3x+2-x^{3})(sqrt{3x-2}+2)}{3(x-2)(sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2sqrt[3]{(3x+)}+4}=-1$
4.3. Tìm giới hạn hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng
Phương pháp giải: Ta tìm các biến hàm số về dạng $infty/infty$
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:
a, $A=underset{xrightarrow +infty}{lim}x(sqrt{x^{2}+9}-x)$
b, $B=underset{xrightarrow +infty}{lim}sqrt{x^{2}-x+1}-x$
Lời giải:
a,
$A=underset{xrightarrow +infty}{lim}x(sqrt{x^{2}+9}-x)=underset{xrightarrow +infty}{lim}x.frac{x^{2}+9-x^{2}}{sqrt{x^{2}+9}+x}=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{9}{sqrt{1+frac{9}{x^{2}}+1}}=frac{9}{2}$
b,
$B=underset{xrightarrow +infty}{lim}sqrt{x^{2}-x+1}-x=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{-x+1}{sqrt{x^{2}-x+1+x}}=-frac{1}{2}$
4.4. Tìm giới hạn hàm số dạng 0 nhân vô cùng
Phương pháp giải: Ta biến đổi về dạng 0/0 hoặc $infty/infty$ sau đó dùng phương pháp giải của hai dạng này
Ví dụ: Tìm giới hạn: $underset{xrightarrow -infty}{lim}frac{1}{x}(sqrt{4x^{2}+1}-x)$
Lời giải:
5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)
Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số dưới đây bằng giới hạn:
-
$underset{xrightarrow 1}{lim}frac{x+1}{x-2}$
-
$underset{xrightarrow 1}{lim}frac{3x+2}{2x-1}$
-
$underset{xrightarrow 0}{lim}frac{sqrt{x+4}-2}{2x}$
-
$underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}frac{4x-3}{x-1}$
Lời giải:
Bài 2: Chứng minh các hàm số dưới đây không có giới hạn:
-
$f(x)=sinfrac{1}{x}$ khi x tiến tới 0
-
f(x) = cosx khi x tiến tới $+infty$
Lời giải:
Bài 3: Chứng minh $f(x)=cosfrac{1}{x^{2}}$ khi x tiến tới 0 không có giới hạn
Lời giải:
Bài 4: Tìm giới hạn sau: $A=underset{xrightarrow infty}{lim}(sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}}+sqrt{x^{2}-2x})$
Lời giải: 
Bài 5: Tìm giới hạn sau: $N=underset{xrightarrow +infty}{lim}sqrt{4x^{2}-x+1}+2x$
Lời giải:
$N=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{x+1}{2x-sqrt{4x^{2}-x+1}}=frac{1}{4}$
Bài 6: Tìm giới hạn: $M=underset{xrightarrow -infty}{lim}x-sqrt[3]{1-x^{3}}$
Lời giải:
$M=underset{xrightarrow -infty}{lim}x-sqrt[3]{1-x^{3}}=-infty$
Bài 7: Tìm giới hạn: $P=underset{xrightarrow -infty}{lim} sqrt{4x^{2}+1}-x$
Lời giải: $P=underset{xrightarrow -infty}{lim} sqrt{4x^{2}+1}-x=underset{xrightarrow -infty}{lim} frac{3x^{2}+1}{sqrt{4x^{2}+1}+x}=-infty$
Bài 8: Tính giới hạn: $underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}(x^{3}-1)sqrt{frac{x}{x^{2}-1}}$
Lời giải:
Bài 9: Tính:$underset{xrightarrow -infty }{lim}(x+1)sqrt{frac{2x+1}{x^{3}+x^{2}+1}}$
Lời giải:
Bài 10: Tính $underset{xrightarrow +infty }{lim}(1-2x)sqrt{frac{3x-11}{x^{3}-1}}$
Lời giải:
Trên đây là toàn bộ lý thuyết giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã nắm được định nghĩa, các định lý, giới hạn đặc biệt cũng như nắm được các dạng bài tập cùng cách tìm giới hạn của hàm số. Đừng quên truy cập Vuihoc.vn để học thêm nhiều bài học bổ ích khác nhé!
