Mục lục Giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Video giải Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau
a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.
b) 3tanx+1=0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.
Lời giải:
a) 2sinx – 3 = 0
⇔sinx=32
Phương trình vô nghiệm vì sinx≤1<32 với mọi x.
b) 3tanx+1=0
⇔tanx=−33
⇔tanx=tan−π6
⇔x=−π6+kπ,k∈ℤ
Vậy các nghiệm của phương trình là x=−π6+kπ,k∈ℤ .
Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 3cos2x − 5cos x + 2 = 0 ;
b) 3tan23−23tanx+3=0.
Lời giải:
a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0
Đặt cosx = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2 – 5t + 2 = 0 (1)
Δ = (-5)2 – 4.3.2 = 1
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
t1=−(−5)+12.3=66=1 (thỏa mãn)
t2=−(−5)−12.3=46=23 (thỏa mãn)
Trường hợp 1: cosx = 1
⇔x=k2π, k∈ℤ
Trường hợp 2: cosx=23⇔x=±arccos23+k2π, k∈ℤ
Vậy các nghiệm của phương trình là x=k2π;x=±arccos23+k2π, k∈ℤ.
b) 3tan2x−23tanx+3=0
Đặt tanx = t, ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2−23t+3=0 (1)
Δ=(−23)2−4.3.3=−24<0
Vậy phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài.
Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;
b) Công thức cộng;
c) Công thức nhân đôi;
d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Lời giải:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
b) Công thức cộng:
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
tan(a−b)=tana−tanb1+tana.tanb
tan(a+b)=tana+tanb1−tana.tanb
c) Công thức nhân đôi:
d) Công thức biến đổi tích thành tổng:
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình
3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0.
Lời giải:
3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0
⇔ 3(1 – sin26x) + 4sin 6x – 4 = 0 (áp dụng hằng đẳng thức và công thức nhân đôi)
⇔ -3sin26x + 4sin6x – 1 = 0
Đặt sin 6x = t với điều kiện −1≤t≤1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
−3t2+4t−1=0(1)
Δ=42−4.(−1).(−3)=4
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
t1=−4+42⋅(−3)=13(TM)
t2=−4−42⋅(−3)=1(TM)
Ta có:
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: sin6x = 1
⇔sin6x=sinπ2
⇔6x=π2+k2π
⇔x=π12+kπ3,k∈ℤ
Vậy nghiệm của phương trình là: x=π12+kπ3, x=16arcsin13+kπ3,
x=π6−16arcsin13+kπ3 k∈ℤ.
Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học:
sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa
cos (a + b) = cosacosb − sinasinb
sin (a − b) = sinacosb − sinbcosa
cos (a − b) = cosacosb + sinasinb
và kết quả cosπ4=sinπ4=22 , hãy chứng minh rằng:
a) sinx+cosx=2cosx−π4;
b) sinx−cosx=2sinx−π4.
Lời giải:
a) sinx+cosx=2cosx−π4
Ta có:
Cách khác:
Cách khác:
Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: 3sin3x−cos3x=2
Lời giải:
Vậy các nghiệm của phương trình là x=5π36+k2π3; x=11π36+k2π3k∈ℤ.
Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0.
Lời giải:
sin2x−sinx=0
⇔sinx(sinx−1)=0
⇔sinx=0sinx−1=0
⇔sinx=0sinx=1
⇔x=kπx=π2+k2π (k∈ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ; x=π2+k2π (k∈ℤ).
Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0;
b) 2sin2x+2sin4x=0.
Lời giải:
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0
Đặt cosx=t(−1≤t≤1)
Phương trình trở thành: 2t2 – 3t +1 = 0
⇔t=1 (TM) t=12(TM)
Với t = 1 ⇒cosx=1 ⇔x=k2π,k∈ℤ
Với t=12 ⇒cosx=12 ⇔x=±π3+k2π,k∈ℤ
Vậy các nghiệm của phương trình là x=k2π; x=±π3+k2π,k∈ℤ.
b) 2sin2x+2sin4x=0
⇔2sin2x+22sin2xcos2x=0
⇔2sin2x1+2cos2x=0
⇔sin2x=01+2cos2x=0
⇔sin2x=0cos2x=−12
⇔2x=kπ2x=±3π4+k2πk∈ℤ
⇔x=kπ2x=±3π8+kπ(k∈ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ2; x=±3π8+kπ (k∈ℤ).
Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) sin2x2−2cosx2+2=0;
b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0;
d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
Lời giải:
a) sin2x2−2cosx2+2=0
Ta có: sin2x2=1−cos2x2
Phương trình tương đương với:
1−cos2x2−2cosx2+2=0 (*)
⇔cos2x2+2cosx2−3=0
Đặt cosx2=t (-1≤t≤1)
Phương trình trở thành:
t2 +2t – 3 = 0
⇔t=1 (TM)t=−3 (L)
Với t = 1 ⇒cosx2=1 ⇔x2=k2π ⇔x=k4π (k∈ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=k4π (k∈ℤ).
b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0
Ta có: cos2x = 1 – sin2x
Phương trình tương đương với:
8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0
⇔8sin2x-2sinx-1=0
Đặt sinx = t, (−1≤t≤1)
Phương trình trở thành: 8t2 – 2t – 1 = 0
⇔t=12(TM)t=−14(TM)
Với t=12⇒sinx=12 ⇔x=π6+k2πx=5π6+k2π(k∈ℤ)
Với t=−14⇒sinx=−14 ⇔x=arcsin−14+k2πx=π−arcsin−14+k2π(k∈ℤ)
Vậy các nghiệm của phương trình là
x=π6+k2π; x=5π6+k2π; x=arcsin−14+k2π;x=π−arcsin−14+k2π(k∈ℤ)
c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0
Điều kiện: x≠π2+kπ,k∈ℤ
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
2t2 + 3t +1 = 0
⇔t=−1t=−12
⇔tanx=−1tanx=−12
⇔x=−π4+kπx=arctan−12+kπ(k∈ℤ)
Vậy các nghiệm của phương trình là x=−π4+kπ; x=arctan−12+kπk∈ℤ.
d) tanx – 2cotx + 1 = 0
Điều kiện: sinx≠0cosx≠0⇔x≠kπx≠π2+kπ⇔x≠kπ2 (k∈ℤ)
Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0
⇔tanx−2tanx+1=0
⇒tan2x+tanx-2=0
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
t2 + t – 2 = 0 ⇔t=1t=−2 ⇔tanx=1tanx=−2
⇔x=π4+kπx=arctan(−2)+kπ(k∈ℤ) (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=π4+kπ, x=arctan(−2)+kπ,(k∈ℤ)
Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;
b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) sin2x+sin2x−2cos2x =12;
d) 2cos2x−33sin2x−4sin2x=−4.
Lời giải:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0
Trường hợp 1: cosx=0⇔sin2x=1
Khi đó ta có 2.1 + 0 – 0 = 0 (vô lý)
Trường hợp 2: cosx≠0⇒x≠π2+kπ,(k∈ℤ)
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
sin2xcos2x+sinxcosx−3=0⇔2tan2x+tanx−3=0
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: 2t2+t−3=0⇔t=1t=−32
Với t = 1 ⇒tanx=1⇔x=π4+kπ,(k∈ℤ) (Thỏa mãn)
Với t=−32⇒tanx=−32 ⇔x=arctan−32+kπ,(k∈ℤ) (Thỏa mãn)
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k∈ℤ); x=arctan−32+kπ,(k∈ℤ).
b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2
Trường hợp 1: cosx=0⇔sin2x=1
Khi đó ta có 3.1 + 0 – 0 = 2 (vô lý)
Trường hợp 2: cosx≠0⇒x≠π2+kπ,(k∈ℤ)
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
3sin2xcos2x−4sinxcosx+5=2cos2x
⇔3tan2x−4tanx+5=2tan2x+1
⇔tan2x−4tanx+3=0
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: t2−4t+3=0⇔t=1t=3
Với t = 1 ⇒tanx=1 ⇔x=π4+kπ,(k∈ℤ) (tm)
Với t = 3 ⇒tanx=3 ⇔x=arctan3+kπ,(k∈ℤ) ™
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k∈ℤ); x=arctan3+kπ,(k∈ℤ).
c) sin2x+sin2x−2cos2x =12
⇔sin2x+2sinxcosx−2cos2x=12
⇔2sin2x+4sinxcosx−4cos2x=1
Trường hợp 1: cosx=0⇔sin2x=1
Khi đó ta có: 2 + 0 – 0 = 1 (vô nghiệm)
Trường hợp 2: cosx≠0⇒x≠π2+kπ,(k∈ℤ)
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
2sin2xcos2x+4sinxcosx−4=1cos2x
⇔2tan2x+4tanx−4=tan2x+1
⇔tan2x+4tanx−5=0
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: t2+4t−5=0⇔t=1t=−5
Với t = 1
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π4+kπ,(k∈ℤ); x=arctan(−5)+kπ,(k∈ℤ)
Trường hợp 1: cosx=0⇔sin2x=1
Khi đó ta 0 + 0 – 4 = – 4 (Luôn đúng)
⇒x=π2+kπ,(k∈ℤ) là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: cosx≠0⇒x≠π2+kπ,(k∈ℤ)
Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π2+kπ,(k∈ℤ); x=π6+kπ,(k∈ℤ).
Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) cosx−3sin2x=2;
b) 3sin3x − 4cos3x = 5 ;
c) 2sinx+2cosx−2=0;
d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0.
Lời giải:
a) cosx−3sin2x=2
⇔12cosx−32sinx=22
⇔cosxcosπ3−sinxsinπ3=22
⇔cosx+π3=cosπ4
⇔x+π3=π4+k2πx+π3=−π4+k2π k∈ℤ
⇔x=−π12+k2πx=−7π12+k2π(k∈ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=−π12+k2π; x=−7π12+k2π(k∈ℤ)
b) 3sin3x − 4cos3x = 5
⇔35sin3x−45cos3x=1
Đặt sinα=35cosα=45 , phương trình trở thành:
sin3xsinα-cos3xcosα = 1
⇔cos3xcosα−sin3xsinα=−1
⇔cos(3x+α)=-1
⇔3x+α=π+k2π
⇔3x=π−α+k2π
⇔x=π−α3+k2π3 (k∈ℤ)
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π−α3+k2π3 (k∈ℤ) với ( sinα=35,cosα=45).
c) 2sinx+2cosx−2=0
⇔2sinx+2cosx=2
⇔222sinx+222cosx=222
⇔12sinx+12cosx=12
⇔sinxsinπ4+cosxcosπ4=12
⇔cosx−π4=cosπ3
⇔x−π4=π3+k2πx−π4=−π3+k2π k∈ℤ
⇔x=7π12+k2πx=−π12+k2π(k∈ℤ)
Vậy các nghiệm của phương trình là x=7π12+k2π hoặc x=−π12+k2π, k∈ℤ.
d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0
⇔513cos2x+1213sin2x=1
Đặt sinα=1213cosα=513, khi đó phương trình trở thành:
cos2xcosα+sin2xsinα=1
⇔cos2x-α=1
⇔2x−α=k2π
⇔x=α2+kπ (k∈ℤ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=α2+kπ,(k∈ℤ) với sinα=1213;cosα=513.
Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;
b) tanx+tanx+π4=1.
Lời giải:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1
Điều kiện: cos(2x+1)≠0cos(3x−1)≠0
⇔2x+1≠π2+kπ3x−1≠π2+kπ
⇔2x≠π2−1+kπ3x≠π2+1+kπ
⇔x≠π4−12+kπ2x≠π6+13+kπ3 k∈ℤ
Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1
⇔tan(2x+1)=1tan(3x−1)
⇔tan(2x+1)=cot(3x−1)
⇔tan(2x+1)=tanπ2−3x+1
⇔2x+1=π2−3x+1+kπ
⇔5x=π2+kπ
⇔x=π10+kπ5,(k∈ℤ)(tm)
Vậy các nghiệm của phương trình là x=π10+kπ5 (k∈ℤ).
b) tanx+tanx+π4=1
Điều kiện: cosx≠0cosx+π4≠0 ⇔x≠π2+kπx+π4≠π2+kπ ⇔x≠π2+kπx≠π4+kπk∈ℤ
Ta có: tanx+tanx+π4=1
⇔tanx+tanx+tanπ41−tanxtanπ4=1
⇔tanx+tanx+11−tanx=1
⇔tanx-tan2x+tanx+1=1−tanx
⇔tan2x−3tanx=0
⇔tanxtanx-3=0
⇔tanx=0tanx=3
⇔x=kπx=arctan3+kπ(k∈ℤ) (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x=kπ; x=arctan3+kπ,(k∈ℤ)
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 1)
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp (Tiết 2)
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:
Ôn tập chương 1
Bài 1: Quy tắc đếm
Bài 2: Hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp
Bài 3: Nhị thức Niu-tơn
Bài 4: Phép thử và biến cố
Xem thêm tài liệu Toán lớp 11 Đại số và Giải tích hay, chi tiết khác:
Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp
Trắc nghiệm Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án
